Evaluación de modelos de optimización convexos para minimizar pérdidas en el sistema de distribución. pp. 62 - 78 /
Volumen 5, número 3 / DOI: https://doi.org/10.37431/conectividad.v5i3.152
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Fecha de publicación: 23 / 07 / 2024
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Evaluación de modelos de optimización convexos para minimizar pérdidas en
el sistema de distribución
Evaluation of convex optimization models for minimizing losses in distribution systems
Jimmy Vaca1 , Carlos Quinatoa2 , Josue Ortiz3 , Luis Camacho4
1 Universidad Técnica de Cotopaxi, jimmy.vaca1539@utc.edu.ec, Latacunga, Ecuador
2 Universidad Técnica de Cotopaxi, carlos.quinatoa7864@utc.edu.ec, Latacunga, Ecuador
3 Universidad Técnica de Cotopaxi, josue.ortiz7570@utc.edu.ec, Latacunga, Ecuador
4 Universidad Técnica de Cotopaxi, , jose.camacho0529@utc.edu.ec, Latacunga, Ecuador
Autor para correspondencia: jimmy.vaca1539@utc.edu.ec
RESUMEN
El presente trabajo de investigación propone la evaluación de modelos convexos para el
despacho de energía a corto plazo, optimizando la ubicación de generadores y minimizando
pérdidas en redes de distribución. Para ello, se utiliza modelos convexos en un periodo de
12 horas con una variación horaria de la demanda, empleando el sistema IEEE de 15 no-
dos tipo radial. Debido a las ecuaciones de potencia activa y reactiva de inyección nodal,
el problema se vuelve no convexo y requiere más recursos computacionales para encontrar
soluciones locales óptimas. Para abordar el problema de no linealidad se analizan modelos
como el cálculo de Wirtinger y la aproximación cónica de segundo orden. El primer modelo
resuelve en 8.12 segundos con errores de voltaje del 0.63% y ángulo del 1.40%, y el segundo
en 17.8 segundos con errores del 0.61% y 1.38%, respectivamente. La ubicación óptima de
las unidades de generación son los nodos 7, 8 y 10. El valor de la función objetivo para cada
modelo es 0.00731149 p.u. para el modelo no lineal, 0.00734619 p.u, para el modelo Wirtin-
ger 0.00744715 p.u, y para el modelo de aproximación cónica de segundo orden (SOC), con
una base de 100 kVA.
Palabras clave: Convexidad, Distribución, Optimización, Pérdidas, Wirtinger
ABSTRACT
This paper proposes the evaluation of convex models for short-term energy dispatch, op-
timizing the location of generators and minimizing losses in distribution networks. For
this purpose, convex models are used in a 12-hour period with an hourly variation of the
demand, using the IEEE system of 15 radial type nodes. Due to the nodal injection active
and reactive power equations, the problem becomes non-convex and requires more com-
putational resources to find local optimal solutions. To address the nonlinearity problem.
The Wirtinger calculus and the second-order conic approximation are analyzed. The first
model solves in 8.12 seconds with voltage errors of 0.63% and angle of 1.40%, and the
second model in 17.8 seconds with errors of 0.61% and 1.38%, respectively. The optimal
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location of the generating units are nodes 7, 8 and 10. The objective function value for each
model is 0.00731149 p.u. for the nonlinear model, 0.00734619 p.u, for the Wirtinger model
0.00744715 p.u, and for the second order conic approximation model (SOC), with a base
of 100 kVA.
Key words: Convexity, Distribution, Optimization, Losses, Wirtinger
1. INTRODUCCIÓN
El estudio de los modelos de optimización en sistemas eléctricos, se enfoca en dos aspectos prin-
cipales: la entrega de energía a los puntos de demanda al menor costo posible y la reducción
de pérdidas en los sistemas (Dias Tamayo & Garcés Ruiz, 2017). Además, debido al aumento
constante de la demanda los sistemas de potencia deben seguir expandiéndose para cumplir con
esta finalidad. Con base a lo anterior, surge la necesidad de proponer modelos de optimización
eficientes. Estos modelos deben enfocarse en las redes de distribución complejas que existen hoy
en día, debido que estos sistemas de distribución tienen una naturaleza radial, el enfoque de esta
investigación estará en minimizar las pérdidas del sistema mediante los modelos de optimización
propuestos.
Para ello se analizó en esta investigación dos modelos particulares de optimización convexa. Por
un lado, el modelo de optimización convexa utilizando el cálculo de Wirtinger, el cual permite
generar aproximaciones a la ecuación general de flujo de potencia mediante las denominadas
derivadas de Wirtinger. Por otra parte, la aproximación cónica de segundo orden, aplicando el
criterio de ubicación óptima de unidades de generación. Ambos modelos buscarán la convexidad
en el sistema para lograr resolver el problema en el menor tiempo posible. A través de esta in-
vestigación, se evaluó la factibilidad y se medirá el error porcentual entre estas metodologías y
el modelo clásico no convexo. Es importante señalar que el problema de optimización planteado
incorporando la ubicación óptima de unidades de generación puede utilizarse ya sea en sistemas
de distribución o sistemas de potencia, según (María & Luis Alfonso, 2008) debido a su naturale-
za que incorpora diferentes unidades de generación, lo convierte en un problema de optimización
no lineal con variables continuas y discretas, incluidas restricciones de igualdad y desigualdad
representadas en el modelo como límites de generación y flujo de potencia por las líneas .
Según los autores (Oñate Y & Ramírez A, 2009) “Debido a la representación discreta, la formu-
lación se convierte en un problema de optimización no convexo, ahí la naturaleza compleja del
mismo”. En la actualidad, no existe mucha información sobre la aplicación de modelos convexos
en sistemas de distribución de naturaleza radial para disminuir pérdidas, sino más bien el enfoque
del uso de estos modelos convexos es la minimización de costos de operación el autor (Yuan &
Hesamzadeh, 2019) propone tres modelos de optimización convexos, Relajación Cónica, Ex-
pansión en Series de Taylor, Envoltura de McCormick. Los resultados muestran un rendimiento
sólido de los modelos propuestos y la recuperación factible de la solución. Por otro lado, los
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modelos usando el cálculo de Wirtinger, según expuesto por (Ramirez & Garcés, 2019) muestra
que se obtuvo los voltajes en el sistema en un tiempo de 0,265588 segundos, mientras que (Martí-
nez-Peralta, 2018) muestra un tiempo de solución 0,012059 segundos para un script realizado en
Matlab para un sistema de 69 nodos. Estos resultados indican que los modelos de prueba utiliza-
dos muestran una ejecución precisa y rápida. Sin embargo, no se ha discutido la precisión de las
respuestas de los modelos convexos en cuestión se centran en minimizar pérdidas. Actualmente
no existen muchas metodologías disponibles que proporcionen una perspectiva clara sobre los
beneficios de estos modelos. Por ejemplo las investigaciones realizadas por (Cabezas Soldevilla
& Alfredo Cabezas Huerta, 2019) y (Leeton & Uthitsunthorn, 2010) utilizando modelos de opti-
mización basados en enjambre de partículas, tienen como función objetivo minimizar las pérdidas
del sistema, logrando una reducción de pérdidas del 8,38%, además mencionan que el flujo de
potencia óptimo basado en optimización de enjambre de partículas ofrece mejores soluciones que
los métodos basados en algoritmos iterativos como el Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno y
algoritmos genéticos. Estos modelos en particular son metaheurísticas y la solución obtenida es un
óptimo local, lo cual requiere un tiempo de solución bastante prolongado. Esto limita su utilidad
a corto plazo debido a la necesidad de precisión y rápida convergencia.
Actualmente la ubicación óptima de unidades de generación se considera un recurso fundamental
para la reducción de pérdidas. En la presente investigación, la implementación de generación
distribuida se logra reducir las pérdidas en un 80%. Con el objetivo de promover la eficiencia
energética y uso racional de energía, cada vez más se impulsan proyectos para incorporar gene-
ración distribuida al sistema eléctrico nacional. Se han realizado investigaciones y desarrollado
metodologías especificas en este campo como las de (Muttaqi & Negnevitsky, 2006), (Anwar
& Pota, 2011) y (Le & Kashem, 2007)such as load growth, overloaded lines, quality of supply
and reliability. Moreover, it has been proven that the additional benefits brought by DG could be
substantial if properly used. This paper addresses the issue of optimizing DG planning in term of
DG size and location to reduce the amount of line losses in the distribution networks. The opti-
mization methodology, which is based on the Sequential Quadratic Programming (SQP quienes
analizan a fondo los parámetros óptimos de la generación distribuida. Estos autores muestran
reducciones cercanas al 20% en las pérdidas de potencia en los modelos propuestos. Este aspecto
se enfatiza con la evaluación de modelos convexos y el criterio de ubicación óptima de unidades
de generación.
Este artículo está organizado de la siguiente manera, la primera sección expone las investiga-
ciones realizadas referentes a los modelos convexos utilizados para reducir las pérdidas en los
sistemas eléctricos de potencia. En la segunda sección se presenta el modelo de optimización
matemática, incluyendo la formulación de los modelos convexos utilizados y los datos relevantes
del sistema eléctrico. La tercera sección se realiza un análisis de los resultados obtenidos a partir
de la aplicación de dichos modelos. Finalmente, en la cuarta sección se presentan las conclusiones
del estudio.
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2. MATERIALES Y MÉTODOS
Metodología de la evolución de los modelos convexos
Para el desarrollo de la presente investigación, se realizó el ingreso de los parámetros de ge-
neración, demanda y condiciones operativas del sistema de distribución radial. Posteriormente,
se formuló el modelo de optimización no lineal. Una vez obtenido el modelo base, se procedió
a la programación de los modelos matemáticos convexos para obtener el despacho de energía
y potencia de pérdidas. Al obtener los resultados, se verificó que la solución cumpliera con las
restricciones impuestas, encontrando el óptimo global del problema de optimización, tal como
se representa en el diagrama de flujo en la figura 1.
Figura. 1. Sistema de distribución radial IEEE 15 nodos
Formulación matemática del modelo de optimización
Según (Javier Martínez-Peralta & Eugenia Llosas-Albuerne, 2022) “El desarrollo de un modelo
matemático de optimización para la reducción de pérdidas eléctricas en toda la red incorporan-
do generación distribuida”, contribuye significativamente a mejorar la eficiencia energética y la
sostenibilidad de los sistemas eléctricos en general . Los parámetros del sistema base considera-
do en esta investigación se presentarán en las tablas posteriormente. El enfoque de optimización
de sistemas eléctricos permite identificar y minimizar ineficiencias en un 80%, dependiendo del
número de unidades de generación disponibles. Aprovecha la producción local de energía reno-
vable para reducir la dependencia de fuentes de energía centralizadas y disminuir las pérdidas
durante la transmisión y distribución. Además, fomenta una mayor resiliencia y flexibilidad en
la red eléctrica, facilitando una integración más eficaz de fuentes de energía renovable y promo-
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viendo un entorno más sostenible y robusto para el futuro energético. En la optimización con-
vexa, se prioriza la resolución de problemas con funciones objetivo y restricciones que exhiben
convexidad, asegurando que cualquier mínimo local sea también un mínimo global. Esta carac-
terística permite el uso eficiente de algoritmos confiables como el descenso de gradientes. La
optimización no lineal enfrenta problemas con restricciones y funciones objetivo no convexas,
lo que puede resultar en múltiples mínimos locales sin garantía de encontrar el mínimo global.
Estos casos requieren algoritmos más avanzados como métodos de Newton modificados o algo-
ritmos evolutivos, que pueden ofrecer menos certeza en términos de convergencia y tiempo de
cálculo. En esta investigación se analizó dos modelos particulares de optimización convexa, el
modelo que utiliza el cálculo de Wirtinger, y la aproximación cónica de segundo orden, a su vez
aplicando el criterio de ubicación óptima de unidades de generación, ambos modelos busca la
convexidad en el sistema para lograr resolver el problema en el menor tiempo posible, es decir
que el algoritmo converge lo más rápido posible ahorrando tiempo y recursos del procesador,
por medio de esta investigación se evaluará la factibilidad y margen de error que existen entre
estas metodologías con respecto al modelo clásico no convexo.
Modelo Flujo de Potencia Óptimo No Lineal (OPF-NL).- Se define como un modelo no
lineal entero mixto de la siguiente manera:
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La función objetivo mostrada en la ecuación (1) está en función de Pi,t
th la cual representa la
potencia generada por las unidades de generación térmicas en el nodo i en la hora t, de la misma
forma Pi,t
extra las unidades de generación adicionales ΩT extras perteneciente al conjunto de
unidades térmicas y unidades extra respectivamente, PLi,t potencia demandada en cada nodo
en la hora t. Las ecuaciones de balance del modelo están tanto para potencia activa, como para
potencia reactiva siendo PLi,t y QLi,t las demandas en los nodos i en la hora t respectivamente.
Las ecuaciones (2) y (3) representan el balance de potencia activa y reactiva respectivamente,
las ecuaciones (4) y (5) representan la inyección de potencia activa y reactiva respectivamente,
las ecuaciones (6) y (7) representa los mínimos y máximos técnico de los generadores térmicos,
las ecuaciones (8) y (9) representan los mínimos y máximos de los generadores distribuidos que
pueden ubicar en cualquier nodo candidato a óptimo, las ecuaciones (10) y (11) representan los
flujos por las líneas eléctricas, finalmente las ecuaciones (12) y (13) muestra la variable binaria
que incorpora las unidades de generación y las unidades máximas que se pueden incorporar
al sistema Umax y sus límites de generación respectivamente, con este y los modelos convexos
que se mostrarán posteriormente se obtendrá el despacho de energía que minimizará al máximo
las pérdidas del sistema de distribución, esta potencia de perdidas es la mencionada función
objetivo que se debe minimizar con el modelo de optimización.
Análisis de la no linealidad del modelo flujo de potencia óptimo
El modelo OPF-NL es no lineal, debido a las ecuaciones (4) y (5) que representan la inyección
de potencia activa y reactiva en cada nodo, las ecuaciones (12) y (13) tiene variable binaria
por la cual el sistema se vuelve no lineal entero mixto que es difícil de resolver. Generalmente
dentro de la literatura científica estos tipos de problemas de optimización resuelven con meta
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heurística, sin embargo, para la operación en corto plazo se necesita algoritmos rápidos y que
tenga unicidad en las soluciones es decir que siempre encuentre un óptimo global.
Propiedades matemáticas para la convexidad de funciones no lineales
“Para abordar el problema de análisis de no linealidad, se tiene en cuenta algunas definiciones
matemáticas que es de bastante importancia” (Caiza & Toaza, 2021). La optimización convexa
es un subcampo de la optimización que estudia problemas de minimizar las funciones sobre
los conjuntos convexos. La convexidad hace que la optimización sea más fácil que en el caso
general, ya que el mínimo local es también un mínimo global y las condiciones de primer orden
son suficientes para el problema.
Denición uno conjunto convexo: Según el autor (Stephen Lieven, 2013) “Se dice que es un
n” es convexo si para cualquier punto x, y
pertenece al conjunto (z
Definición dos cono convexo:x x
≥
Lieven, 2013).
Definición tres función convexa: Según el autor (Stephen Lieven, 2013) “Sea f : → donde
n ”. La función f si para cualquier
par de puntos x,y ≤ ≤ 1 , se tiene en la ecuación (15):
Formulación matemática de modelos convexos
El modelo de aproximación basado en el cálculo de Wirtinger del problema de optimización de
la ecuación 4 y 5 del problema OPF-NL puede describirse como:
Donde Wkm es la nueva variable compleja, esta ecuación puede ser linealizada en el plano com-
plejo alrededor del punto uk, um, mediante el cálculo de Wirtinger, obteniendo lo siguiente en la
ecuación (18):
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La ecuación (19) constituye una linealización convexa la ecuación del flujo de potencia. A
continuación, la formulación matemática del problema de optimización basada en el cálculo de
Wirtinger.
Donde ∗ representa el conjugado convexo, es la potencia nodal generada, dk y es la carga co-
rrespondiente. En favor de una representación compacta del modelo y siguiendo la metodología
descrita en (Garcés-Ruiz, 2022), se asume que los subíndices 𝑚 y 𝑘 pertenecen al conjunto
de nodos en todos los casos. El modelo se presenta en una variable compleja, por ejemplo, se
representa la ecuación (22). en el dominio complejo; esto es sólo una representación ya que la
ecuación requiere ser separado en partes reales e imaginarias. Aunque el problema puede consi-
derar diferentes objetivos, la aplicación en esta investigación consiste en minimizar las pérdidas
de potencia dadas por la ecuación (16).
Modelo basado en la aproximación cónica de segundo orden
El autor (Garcés-Ruiz, ) mencionan que, una aproximación cónica de segundo orden es
una forma conveniente de incluir las ecuaciones de flujo de potencia en un modelo de optimiza-
ción, partiendo de la ecuación (17), multiplicando por se obtiene la ecuación siguiente:
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Existe una amplia literatura sobre aproximaciones de conos de segundo orden, destacando el
trabajo presentado por (Low, 2014) y (Low, 2014). Esta revisión incluye linealizaciones y
aproximaciones cónicas. A continuación, la formulación matemática del problema de optimiza-
ción basada aproximación cónica de segundo orden:
En este caso, se convexifíca la ecuación de flujo de potencia manteniendo la no linealidad. En
este modelo, se calcula la potencia de pérdidas como la suma de las potencias nodales.
A continuación se detalla el sistema de distribución tipo radial para el desarrollo de esta inves-
tigación, se toma los datos de líneas a partir de los autores (Gopi & Raj, 2012), este sistema
cuenta con 15 nodos 2 generadores y 14 demanda tanto activa como reactiva como se muestran
en la Figura 2.
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Figura. 2. Sistema de distribución radial IEEE 15 nodos
Fuente: (Gopi & Raj, 2012)
Para un estudio más completo de la evaluación de los modelos convexos en sistemas de distri-
bución se realizó con la curva de la demanda de 12 horas. La Figura 3 muestra el periodo de la
evaluación de la demanda.
Figura. 3. Curva de demanda 12 horas
En las Tabla 1 se muestra los datos de límites de generación de las unidades que se encuentran
en el sistema IEEE 15 nodos.
Tabla 1. Límites de generación
Unidades
G1 4.0 0 3.0 0
G2 0.1 0 0.25 0
Unidades adicionales
G3 0.1 0 0 --
G4 0.1 0 0 --
G5 0.1 0 0 --
En la Tabla 2 se muestra la demanda de potencia activa en p.u, para cada nodo del sistema se
tiene 12 medidas que corresponden a las horas.
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Tabla 2. Demanda de potencia activa en 12 horas
Demanda Potencia Activa p.u
Hora N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14 N15
1 0.0208 0.0495 0.0958 0.0422 0.0133 0.0638 0.0323 0.0213 0.0280 0.2170 0.0132 0.0029 0.0161 0.0139
2 0.0180 0.0450 0.0900 0.0400 0.0140 0.0650 0.0350 0.0220 0.0290 0.2100 0.0140 0.0040 0.0170 0.0150
3 0.0150 0.0400 0.0840 0.0380 0.0150 0.0680 0.0380 0.0230 0.0300 0.2030 0.0150 0.0050 0.0180 0.0160
4 0.0140 0.0360 0.0770 0.0350 0.0160 0.0710 0.0420 0.0240 0.0310 0.1960 0.0160 0.0060 0.0190 0.0170
5 0.0160 0.0320 0.0720 0.0320 0.0170 0.0730 0.0450 0.0250 0.0320 0.1890 0.0170 0.0070 0.0200 0.0180
6 0.0200 0.0290 0.0680 0.0300 0.0180 0.0750 0.0480 0.0260 0.0330 0.1820 0.0180 0.0080 0.0210 0.0190
7 0.0300 0.0260 0.0650 0.0290 0.0190 0.0770 0.0500 0.0270 0.0340 0.1750 0.0190 0.0090 0.0220 0.0200
8 0.0400 0.0250 0.0630 0.0280 0.0200 0.0780 0.0520 0.0280 0.0350 0.1680 0.0200 0.0100 0.0230 0.0210
9 0.0500 0.0250 0.0620 0.0280 0.0210 0.0790 0.0530 0.0290 0.0360 0.1610 0.0210 0.0110 0.0240 0.0220
10 0.0550 0.0260 0.0620 0.0290 0.0220 0.0800 0.0540 0.0300 0.0370 0.1540 0.0220 0.0120 0.0250 0.0230
11 0.0600 0.0280 0.0620 0.0300 0.0230 0.0810 0.0545 0.0310 0.0380 0.1470 0.0230 0.0130 0.0260 0.0240
12 0.0630 0.0310 0.0620 0.0320 0.0240 0.0820 0.0550 0.0320 0.0390 0.1400 0.0240 0.0140 0.0270 0.0250
De la misma forma, en la Tabla 3 se muestra la demanda de potencia reactiva que se considera
para el desarrollo de la investigación, de igual forma para un periodo de 12 horas, los datos
presentados son aleatorios los cuales representan la variabilidad de la demanda.
Tabla 3. Demanda de potencia activa en 12 horas
Demanda Potencia Reactiva p.u
Hora N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14 N15
1 0.0021 0.0051 0.0098 0.0045 0.0012 0.0066 0.0033 0.0020 0.0029 0.0022 0.0014 0.0003 0.0016 0.0014
2 0.0019 0.0046 0.0091 0.0041 0.0013 0.0067 0.0036 0.0021 0.0030 0.0021 0.0015 0.0004 0.0017 0.0015
3 0.0017 0.0041 0.0085 0.0039 0.0014 0.0069 0.0039 0.0022 0.0031 0.0020 0.0016 0.0005 0.0018 0.0016
4 0.0016 0.0037 0.0078 0.0036 0.0015 0.0072 0.0043 0.0023 0.0032 0.0019 0.0017 0.0006 0.0019 0.0017
5 0.0017 0.0033 0.0073 0.0033 0.0016 0.0074 0.0046 0.0024 0.0033 0.0018 0.0018 0.0007 0.0020 0.0018
6 0.0021 0.0030 0.0069 0.0031 0.0017 0.0076 0.0049 0.0025 0.0034 0.0017 0.0019 0.0008 0.0021 0.0019
7 0.0031 0.0026 0.0066 0.0030 0.0018 0.0078 0.0051 0.0026 0.0035 0.0016 0.0020 0.0009 0.0022 0.0020
8 0.0041 0.0025 0.0064 0.0029 0.0019 0.0079 0.0053 0.0027 0.0036 0.0015 0.0021 0.0010 0.0023 0.0021
9 0.0051 0.0025 0.0063 0.0029 0.0020 0.0080 0.0054 0.0028 0.0037 0.0014 0.0022 0.0011 0.0024 0.0022
10 0.0056 0.0026 0.0063 0.0030 0.0021 0.0081 0.0055 0.0029 0.0038 0.0013 0.0023 0.0012 0.0025 0.0023
11 0.0061 0.0029 0.0063 0.0031 0.0022 0.0082 0.0056 0.0030 0.0039 0.0012 0.0024 0.0013 0.0026 0.0024
12 0.0064 0.0031 0.0063 0.0033 0.0023 0.0083 0.0056 0.0031 0.0040 0.0011 0.0025 0.0014 0.0027 0.0025
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
El resultado de problema de optimización convexa tomando en cuenta tres unidades de genera-
ción distribuida, los datos del modelo de IEEE de 15 nodos y la demanda de la potencia reac-
tiva y activa mostradas en las Tablas 2 y 3. La simulación se realiza en un periodo de 12 horas
utilizado el solver Knitro y una computadora Intel(R) Core(TM) i7-8565U CPU @ 1.80GHz
1.99 GHz. Los resultados se muestran a continuación:
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La Figura 4 muestra la ubicación óptima de las 3 unidades de generación distribuida, que
son los nodos 7, 8 y 10 respectivamente, minimizando las pérdidas de la red con un valor de
0,00731149 p.u y 0,00744715 p.u para los modelos convexos, Wirtinger y segundo orden cóni-
co respectivamente.
Figura. 4. Sistema de distribución radial IEEE 15 nodos, incorporando nuevas unidades de generación
En la Figura 5 el valor de la función objetivo del modelo OPF-NL es de 0,00757788 p.u., es si-
milar a los valores obtenidos por los modelos convexos. Esto demuestra que el modelo OPF-NL
proporciona una aproximación precisa. Sin embargo, hay una diferencia entre estos modelos.
Aunque el modelo OPF-NL produce resultados muy cercanos a los obtenidos por los modelos
convexos, estos últimos tienen la ventaja de encontrar el óptimo global de manera consistente.
La capacidad de los modelos convexos para identificar la mejor solución posible en un contexto
específico los hace superiores en términos de exactitud y fiabilidad.
Debido a que es un sistema mulihorario, la cantidad de datos es considerable, por lo que el
análisis de calidad de los datos se realizará en el nodo más crítico o nodo que presenta el mayor
rango de error absoluto en comparación con el modelo no convexo.
Figura. 5. Potencia activa generada por las centrales en 12 horas. Despacho de energía de modelos: No convexo,
convexo basado en el cálculo de Wirtinger y Convexo basado en segundo orden cónico.
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El nodo más crítico que presentan los modelos es el nodo 15 por lo tanto, se analiza la calidad
de la respuesta enfocándose en los datos obtenidos en ese nodo para los modelos convexos,
en la Figura 6 muestra la distribución de valores de ángulos para las horas establecidas, don-
de se observa que existe una distribución uniforme que se encuentra, y se encuentra dentro
de los limites superior e inferior, además de la ausencia de valores atípicos en los valores de
ángulo.
Figura. 6. Distribución de ángulos del segundo orden cónico , Wirtinger y modelo no convexo en un periodo
de 12 horas en el nodo más crítico
De la misma manera, se muestra en la Figura 7 los datos de voltaje en el nodo 15, siendo esta
una distribución uniforme resaltando que el modelo no convexo presenta la distribución de
datos más uniforme que los modelos convexos.
Figura. 7. Distribución de voltajes del segundo orden cónico, Wirtinger y modelo no convexo en un periodo
de 12 horas en el nodo más crítico
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Para la evaluación específica de los modelos convexos, existe cierto rango de error entre
los resultados del modelo OPF-NL evaluados frente a los modelos convexos. Por lo tanto
en la Figura 8 muestra el error absoluto que existe en los datos del nodo 15. Para el modelo
convexo basado en el cálculo de Wirtinger, se observa un error que oscila entre 0.00427 y
0.00631 de voltaje. Mientras que, el modelo convexo del segundo orden cónico se observa un
error que oscila entre 0,004025 y 0,06070 p.u.
Figura. 8. Error absoluto en voltaje de los modelos convexos frente al modelo no convexo en el nodo más
crítico.
El análisis de los ángulos a partir de la Figura 9, muestra que el modelo convexo basado en
el cálculo de Wirtinger muestra un error absoluto que oscila entre 0,01942 y 0,03355 grados,
mientras que el modelo cónico de segundo orden tiene un error que oscila desde 0,01847 y
0,03304 grados.
Figura. 9. Error absoluto en ángulo de los modelos convexos frente al modelo no convexo en el nodo más
critico
La Tabla 4 muestra la potencia de pérdidas para cada caso, el modelo basado en el cálculo de
Wirtinger mediante su metodología convexa logra obtener para un periodo de 12 horas una
potencia de pérdidas total de 0,00734619 p.u en un tiempo de 8,12 segundos mientras que el
modelo cónico de segundo orden obtiene una potencia de pérdidas de 0,00744715 p.u en un
tiempo de 17,8 segundos.
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Tabla 4. Resultados de la simulación para los distintos modelos
Tipo Modelo no convexo Modelo Wirtinger Modelo Segundo
Orden Cónico
Potencia de Pérdida p.u 0,00731149 0,00734619 0,00744715
Tiempo(segundos) 2.97 8,12 17,8
4. CONCLUSIONES
El problema de convexidad de los sistemas eléctricos aborda enfoques diferentes que permiten
el desarrollo de metodologías que reduzcan los tiempos y recursos del procesador, por lo que es
importante evaluar la calidad de los datos obtenidos por las distintas metodologías o modelos
convexos, garantizando unicidad en las soluciones esto es ventajoso comparando a los modelos
tradiciones de programación matemática y ayuda a la operación de las redes eléctricas, dicho
esto se logra concluir que mediante esta investigación se evidencia el desempeño de las me-
todologías no convexa, es decir cuál es la más rápida en solucionar el problema y el error que
existen con respecto al modelo no lineal.
En principio el problema de optimización no convexo muestra una función objetivo de
0,00731149 p.u. en base a este modelo se midió el error absoluto asociado a los métodos con-
vexos presentados en el documento, en el cual se obtuvo para el modelo convexo basado en
el cálculo de Wirtinger una función objetivo de 0,00734619 en un tiempo de 8,12 segundos,
teniendo esta metodología una diferencia de 0,000034 p.u llegando a obtener un error porcen-
tual en voltaje de 0,63% y de ángulo 1,40%. Mientras que modelo basado en aproximación de
cono de segundo orden con un valor objetivo de 0,00744715 p.u en un tiempo de 17,8 segundos
tiene una diferencia de 0,0001357 p.u llegando a tener un error porcentual de voltaje de 0,61%
y de ángulo 1,38%, por lo tanto, se puede concluir que el modelo Wirtinger proporciona una
solución rápida con un margen de error aceptable, sin embargo, el modelo convexo de segundo
orden cónico proporcionará una solución con un margen de error más pequeño sin embargo esto
duplicaría el tiempo de solución.
La investigación centrada en modelos convexos es un paso más hacia el desarrollo de nuevas
metodologías que optimizan los tiempos y recursos utilizados para hallar una solución, esto a
largo plazo beneficiará al sector eléctrico ya que la evaluación de estos modelos concluye que
el modelo convexo usando el cálculo de Wirtinger converge en un tiempo más corto, con lo
cual se podrían tener consideraciones al momento de requerir una solución rápida y se optaría
por la metodología planteada en la presente investigación. Es importante tener en cuenta el
crecimiento constante del sector eléctricos y los recursos renovables disponibles, por lo que se
recomienda para futuras investigaciones modelos estocásticos en conjunto de modelos conve-
xos que permita simular la intermitencia de los recursos.
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